Wir beschäftigen uns in dieser Arbeit mit Funktionen und Flächen in der geometrischen Datenverarbeitung. Splines sind gut zur Modellierung von drei-dimensionalen Flächen geeignet. Uns interessieren nun vor allem auf diesen Flächen definierte Funktionen.
Unser Ziel ist die Entwicklung eines Modells zur Darstellung und Integration von Funktionen auf Flächen. Dabei sollen die Funktionen wie die Flächen durch Splines beschrieben werden. Im besonderen sollen dabei biquadratische Splines verwendet werden. Zusätzlich sollen auch getrimmte Flächen in diesem Zusammenhang behandelt werden.
Für diese Arbeit wurde das Programm LiLit zur Darstellung und Integration von Funktionen auf Flächen in C++ entwickelt. LiLit wird frei über die GNU General Public License vertrieben. Das Programm liest die Objektbeschreibungen über eine ODL-Datei ein und kann Punkte, Polygone, G-Spline-Flächen und Funktionen mit den vorgestellten Algorithmen bearbeiten und mit Hilfe von OpenGL darstellen. Die Ausgabe erfolgt entweder über ein Grafikdisplay oder als encapsulated PostScript-Datei.
In Kapitel 1 werden geometrisch stetige Splinekurven eingeführt und über die Tensorproduktmethode werden hieraus Splineflächen erzeugt. Über geometrisch glatte Flächen werden die biquadratischen G-Spline-Flächen vorgestellt und die grundlegenden Algorithmen für diese Flächen beschrieben. Für diese Arbeit werden nur biquadratische G-Spline-Flächen verwendet. Zum Erzeugen von Kontrollnetzen für biquadratische G-Splines wird noch der Doo-Sabin-Subdivision-Algorithmus vorgestellt.
In Kapitel 2 werden zunächst zwei geometrisch glatt zusammengesetzte, biquadratische Bézierflächenstücke betrachtet, auf denen jeweils eine Funktion gegeben ist. Es wird eine Bedingung gesucht, um diese beiden Funktionen stetig zusammenzusetzen. Hieraus wird die Darstellung dieser Funktionen durch biquadratische Splines entwickelt. Es werden die Darstellungen über Farben, als Stacheln, Gitter über der Fläche und farbige Flächen über der Fläche vorgestellt. Zudem wird der bivariate Romberg-Algorithmus für Oberflächenintegrale über diesen durch Splines dargestellten Funktionen beschrieben. Zusätzlich wird ein Algorithmus zur Darstellung einer Funktion über Isolinien betrachtet und die Krümmung der Fläche als spezielle Funktion eingeführt.
In Kapitel 3 werden getrimmte Flächen behandelt. Aus den Flächen können dabei sowohl über implizite Funktionen im Raum der Fläche als auch über Kurven im Parameterbereich Teile ausgeschnitten werden. Es wird ein Algorithmus zur Darstellung solcher Flächen beschrieben, der gleichzeitig zeigt, wie andere Algorithmen auf getrimmte Flächen angepaßt werden können. Die Auswirkungen auf die Darstellung und Integration von durch Splines dargestellten Funktionen auf getrimmten Flächen werden kurz angesprochen.
In Kapitel 4 wird das für diese Arbeit entwickelte Programm LiLit vorgestellt. Es wird sowohl kurz die Programmstruktur, als auch die Bedienung des Programms behandelt. Vor allem wird das von LiLit verwendete ODL-Dateiformat beschrieben. Zusätzlich werden noch zwei Dateiformate zur vereinfachten Erzeugung von Grafikobjekten in ODL besprochen. Mit dem SBW-Format können Flächenkontrollnetze aus gleichgroßen Würfeln zusammengesetzt werden. Mit dem FNC-Format können die Kontrollnetze über eine Parametrisierung beschrieben werden. In beiden Formaten können auch die Kontrollnetze für die Funktionen auf den Flächen über Parametrisierungen angegeben werden.
Anhang A enthält eine vollständige Programm-Dokumentation, in der alle in LiLit vorkommenden Datenstrukturen, Methoden und Variablen beschrieben werden.