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2.1 Zusammensetzen von Funktionen auf Fl�chenst�cken

Wie in Abschnitt 1.6 wollen wir zun�chst zwei Bézierfl�chen und geometrisch glatt zusammensetzen. Die beiden Fl�chenst�cke seien als Bézierfl�chenst�cke mit den Kontrollpunkten $P_{j,k}$ und $Q_{j,k}$ gegeben,

		$p(u,v) = \sum_{j=0}^alpha \sum_{k=0}^beta P_{j,k} B^alpha_j(u) B^beta_k(v),$	(2.1)
		$q(u,v) = \sum_{j=0}^alpha \sum_{k=0}^beta Q_{j,k} B^alpha_j(u) B^beta_k(v).$	(2.2)

Wir nehmen an, da�

und

eine gemeinsame Randkurve

besitzen. Diese sei o.B.d.A. gegeben durch

f�r $u \in [0,1].$

(2.3)

Weiter seien auf den beiden Bézierfl�chen

und

zwei stetige differenzierbare Abbildungen

		(2.4)
		(2.5)

gegeben mit $d \in N$ . Wir folgen nun dem Ansatz aus [Sey96], um diese beiden Funktionen stetig differenzierbar zusammenzusetzen. Abbildung 2.1 zeigt eine schematische Darstellung dieser Situation.

Wenn (1.34) f�r und erf�llt ist, erhalten wir eine l�ngs geometrisch glatt zusammengesetzte Fl�che $S = P \union Q$ . Unter bestimmten Bedingungen an und erzeugen diese beiden Funktionen eine stetig differenzierbare Funktion mit

$f(x) = f_1(x) f�r x \in P; f_2(x) f�r x \in Q.$

(2.6)

und

die gemeinsame Randkurve

besitzen, mu�

f�r $u \in [0,1]$

(2.7)

gelten, damit

wohldefiniert ist. Aus der Stetigkeit von

und

und aus (2.7) folgt, da�

l�ngs

stetig ist.

**Abbildung 2.1:** Zusammensetzen von Funktionen auf Fl�chenst�cken

Wir suchen nun noch eine Bedingung f�r die Differenzierbarkeit von l�ngs . Dazu ben�tigen wir eine Parametrisierung von , die differenzierbar ist. Zun�chst werden wir eine stetig differenzierbare Parametrisierung f�r angeben. Diese erhalten wir durch das Kombinieren von und . Wir w�hlen dazu zwei stetig differenzierbare Transformationen

$t_i: [0,1]^2 -> A_i \subset [0,1]^2, i = 1, 2$

(2.8)

mit $A_1 \intersection A_2 = t_1([0,1],0) = t_2([0,1],0)$ . Die Parametrisierung sei dann �ber

$s(u,v) := p(t_1^{-1}(u,v)) falls (u,v) \in A_1, q(t_2^{-1}(u,v)) falls (u,v) \in A_2$

(2.9)

gegeben. Nach (2.3) ist dies wohldefiniert.

Um die Transformationen explizit zu bestimmen, w�hlen wir . Daraus folgt

(2.10)

Aus der stetigen Differenzierbarkeit von

folgt

$nabla(p(t_1^{-1}(u,1/2))) = nabla(q(t_2^{-1}(u,1/2))),$	(2.11)
$nabla p(u,0) (Dt_1(u,0))^{-1} = nabla q(u,0) (Dt_2(u,0))^{-1},$	(2.12)
$q_v(u,0) (Dt_2(u,0))^{-1}.$	(2.13)

Aus (2.10) folgt

(2.14)

mit den Funktionen

und

f�r die partiellen Ableitungen von

nach

. Damit gilt

$(Dt_2(u,0))^{-1} = ... .$

(2.15)

Dies in (2.13) eingesetzt ergibt

(2.16)

Hieraus erhalten wir die Gleichungen

		(2.17)
		(2.18)

Aus (2.3) folgt sofort, da� (2.17) erf�llt ist. Es bleibt also zun�chst die Gleichung (2.18). Setzt man (1.34) ein, ergibt dies

	(2.19)
	(2.20)

Hieraus erh�lt man die Bedingungen

		(2.21)
		(2.22)

Dies bedeutet, da�

(2.23)

Diese Bedingung wird z.B. erf�llt von

(2.24)

Nun k�nnen wir eine Bedingung f�r die Differenzierbarkeit von herleiten. Dazu seien f�r mit $~f_1 = f_1 \circ p$ und $~f_2 = f_2 \circ q$ definiert. Es sei weiter gegeben durch

$~f(u,v) = ~f_1(t_1^{-1}(u,v)) ... ~f_2(t_2^{-1}(u,v)) falls (u,v) \in A_2.$

(2.25)

Aus der Stetigkeit von

folgt

$~f_1(t_1^{-1}(u,1/2)) = ~f_2(t_2^{-1}(u,1/2)),$	(2.26)
	(2.27)

f�r $u \in [0,1]$ . Weiter soll

stetig differenzierbar sein, d.h. es mu� gelten

f�r $x \in c([0,1]),$	(2.28)
$D~f_1(t_1^{-1}(u,1/2)) = D~f_2(t_2^{-1}(u,1/2)),$	(2.29)
$~{f_{1,u}}(u,0)$ $2~{f_{1,v}}(u,0) = ~{f_{2,u}}(u,0)$ $~{f_{2,v}}(u,0)} (Dt_2(u,0))^{-1}.$	(2.30)

Mit (2.23) folgt

$~{f_{1,u}}(u,0)$ $2~{f_{1,v}}(u,0) = ~{f_{2,u}}(u,0)$ $~{f_{2,v}}(u,0) -2/\Psi(u) -1/2Psi(u)$ ; 0 1]	(2.31)
$~{f_{1,u}}(u,0)$ $2 ~{f_{1,v}}(u,0) = 2/Psi(u) -1/2Psi(u) ~{f_{2,u}}(u,0)$	(2.32)

Dies liefert die Gleichungen

$~{f_{1,u}}(u,0)$	$= ~{f_{2,u}}(u,0),$	(2.33)
$-Psi(u) ~{f_{1,v}}(u,0)$	$= Phi(u) ~f_{2,u}}(u,0)+~{f_{2,v}}(u,0).$	(2.34)

(2.33) ist wegen (2.27) erf�llt und aus (2.34) erh�lt man deshalb

$Phi ~{f_{1,u}}(.,0)+Psi~{f_{1,v}}(.,0)+ ~{f_{2,v}}(.,0) \equiv 0.$

(2.35)

Diese Bedingung stimmt formal mit der Bedingung (1.34) f�r die geometrische Glattheit von Fl�chen �berein. Dabei ist zu beachten, da� und dieselben Funktionen sind, die beim Zusammensetzen der Fl�chenst�cke verwendet werden.

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