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2.1 Zusammensetzen von Funktionen auf Flächenstücken

Wie in Abschnitt 1.6 wollen wir zunächst zwei Bézierflächen und geometrisch glatt zusammensetzen. Die beiden Flächenstücke seien als Bézierflächenstücke mit den Kontrollpunkten $P_{j,k}$ und $Q_{j,k}$ gegeben,

		$p(u,v) = \sum_{j=0}^alpha \sum_{k=0}^beta P_{j,k} B^alpha_j(u) B^beta_k(v),$	(2.1)
		$q(u,v) = \sum_{j=0}^alpha \sum_{k=0}^beta Q_{j,k} B^alpha_j(u) B^beta_k(v).$	(2.2)

Wir nehmen an, daß

und

eine gemeinsame Randkurve

besitzen. Diese sei o.B.d.A. gegeben durch

für $u \in [0,1].$

(2.3)

Weiter seien auf den beiden Bézierflächen

und

zwei stetige differenzierbare Abbildungen

		(2.4)
		(2.5)

gegeben mit $d \in N$ . Wir folgen nun dem Ansatz aus [Sey96], um diese beiden Funktionen stetig differenzierbar zusammenzusetzen. Abbildung 2.1 zeigt eine schematische Darstellung dieser Situation.

Wenn (1.34) für und erfüllt ist, erhalten wir eine längs geometrisch glatt zusammengesetzte Fläche $S = P \union Q$ . Unter bestimmten Bedingungen an und erzeugen diese beiden Funktionen eine stetig differenzierbare Funktion mit

$f(x) = f_1(x) für x \in P; f_2(x) für x \in Q.$

(2.6)

und

die gemeinsame Randkurve

besitzen, muß

für $u \in [0,1]$

(2.7)

gelten, damit

wohldefiniert ist. Aus der Stetigkeit von

und

und aus (2.7) folgt, daß

längs

stetig ist.

**Abbildung 2.1:** Zusammensetzen von Funktionen auf Flächenstücken

Wir suchen nun noch eine Bedingung für die Differenzierbarkeit von längs . Dazu benötigen wir eine Parametrisierung von , die differenzierbar ist. Zunächst werden wir eine stetig differenzierbare Parametrisierung für angeben. Diese erhalten wir durch das Kombinieren von und . Wir wählen dazu zwei stetig differenzierbare Transformationen

$t_i: [0,1]^2 -> A_i \subset [0,1]^2, i = 1, 2$

(2.8)

mit $A_1 \intersection A_2 = t_1([0,1],0) = t_2([0,1],0)$ . Die Parametrisierung sei dann über

$s(u,v) := p(t_1^{-1}(u,v)) falls (u,v) \in A_1, q(t_2^{-1}(u,v)) falls (u,v) \in A_2$

(2.9)

gegeben. Nach (2.3) ist dies wohldefiniert.

Um die Transformationen explizit zu bestimmen, wählen wir . Daraus folgt

(2.10)

Aus der stetigen Differenzierbarkeit von

folgt

$nabla(p(t_1^{-1}(u,1/2))) = nabla(q(t_2^{-1}(u,1/2))),$	(2.11)
$nabla p(u,0) (Dt_1(u,0))^{-1} = nabla q(u,0) (Dt_2(u,0))^{-1},$	(2.12)
$q_v(u,0) (Dt_2(u,0))^{-1}.$	(2.13)

Aus (2.10) folgt

(2.14)

mit den Funktionen

und

für die partiellen Ableitungen von

nach

. Damit gilt

$(Dt_2(u,0))^{-1} = ... .$

(2.15)

Dies in (2.13) eingesetzt ergibt

(2.16)

Hieraus erhalten wir die Gleichungen

		(2.17)
		(2.18)

Aus (2.3) folgt sofort, daß (2.17) erfüllt ist. Es bleibt also zunächst die Gleichung (2.18). Setzt man (1.34) ein, ergibt dies

	(2.19)
	(2.20)

Hieraus erhält man die Bedingungen

		(2.21)
		(2.22)

Dies bedeutet, daß

(2.23)

Diese Bedingung wird z.B. erfüllt von

(2.24)

Nun können wir eine Bedingung für die Differenzierbarkeit von herleiten. Dazu seien für mit $~f_1 = f_1 \circ p$ und $~f_2 = f_2 \circ q$ definiert. Es sei weiter gegeben durch

$~f(u,v) = ~f_1(t_1^{-1}(u,v)) ... ~f_2(t_2^{-1}(u,v)) falls (u,v) \in A_2.$

(2.25)

Aus der Stetigkeit von

folgt

$~f_1(t_1^{-1}(u,1/2)) = ~f_2(t_2^{-1}(u,1/2)),$	(2.26)
	(2.27)

für $u \in [0,1]$ . Weiter soll

stetig differenzierbar sein, d.h. es muß gelten

für $x \in c([0,1]),$	(2.28)
$D~f_1(t_1^{-1}(u,1/2)) = D~f_2(t_2^{-1}(u,1/2)),$	(2.29)
$~{f_{1,u}}(u,0)$ $2~{f_{1,v}}(u,0) = ~{f_{2,u}}(u,0)$ $~{f_{2,v}}(u,0)} (Dt_2(u,0))^{-1}.$	(2.30)

Mit (2.23) folgt

$~{f_{1,u}}(u,0)$ $2~{f_{1,v}}(u,0) = ~{f_{2,u}}(u,0)$ $~{f_{2,v}}(u,0) -2/\Psi(u) -1/2Psi(u)$ ; 0 1]	(2.31)
$~{f_{1,u}}(u,0)$ $2 ~{f_{1,v}}(u,0) = 2/Psi(u) -1/2Psi(u) ~{f_{2,u}}(u,0)$	(2.32)

Dies liefert die Gleichungen

$~{f_{1,u}}(u,0)$	$= ~{f_{2,u}}(u,0),$	(2.33)
$-Psi(u) ~{f_{1,v}}(u,0)$	$= Phi(u) ~f_{2,u}}(u,0)+~{f_{2,v}}(u,0).$	(2.34)

(2.33) ist wegen (2.27) erfüllt und aus (2.34) erhält man deshalb

$Phi ~{f_{1,u}}(.,0)+Psi~{f_{1,v}}(.,0)+ ~{f_{2,v}}(.,0) \equiv 0.$

(2.35)

Diese Bedingung stimmt formal mit der Bedingung (1.34) für die geometrische Glattheit von Flächen überein. Dabei ist zu beachten, daß und dieselben Funktionen sind, die beim Zusammensetzen der Flächenstücke verwendet werden.

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