1.6 Geometrisch glatte Flächen

Die Tensorproduktflächen der Form (1.29) lassen sich nun ähnlich wie die Splinekurven geometrisch glatt zusammensetzen. Wir betrachten die gesamte Fläche als aus Flächenstücken der Form (1.29) erzeugt, wobei die Kontrollpunkte bestimmte Glattheitsbedingungen erfüllen müssen. Dazu folgen wir hier dem Ansatz aus [Rei95].

Seien die folgenden beiden Flächenstücke und gegeben:

Beide werden vollständig durch die Kontrollpunkte und bestimmt. Zunächst fordern wir, daß und eine gemeinsame Randkurve besitzen. Dies werden wir im folgenden auch als -Bedingung bezeichnen. Durch die Forderung, daß die resultierende Fläche parametrisch glatt sein soll, würden wir unsere Möglichkeiten erheblich einschränken. Ähnlich wie bei den Kurven genügt es jedoch zu fordern, daß die Fläche “nur” geometrisch glatt ist.

Definition 1.6 (Geometrische Glattheit)   Es seien zwei Flächenstücke durch die regulären Parametrisierungen und ( ) mit einer gemeinsamen Randkurve

gegeben. Die aus den Flächenstücken zusammengesetzte Fläche ist geometrisch glatt oder einmal stetig differenzierbar längs , wenn gilt

mit und .

Dabei können natürlich beliebige Randkurven der beiden Flächenstücke verwendet werden. Betrachten wir (1.34) genauer, dann bedeutet dies zunächst, daß die Tangentialebenen von und in jedem Punkt von übereinstimmen. Die Tangentenebene in wird von den beiden Vektoren bzw. aufgespannt. Wegen (1.33) gilt . Hieraus folgt dann die Bedingung (1.34).

Offensichtlich genügt es jedoch nicht zu fordern, daß die Tangentialebenen übereinstimmen. Man könnte so z.B. die gleiche Fläche oder Flächen die sich längs tangential wie verhalten zusammensetzen und so eine “Spitze” erhalten. Wir benötigen eine weitere Bedingung, die sicherstellt, daß die beiden Flächen auf “verschiedenen Seiten von ” liegen. Betrachten wir die Tangentialebene im Punkt , dann wird sie durch die durch , bzw. erzeugte Gerade in zwei Teilebenen zerlegt. Wenn wir nun fordern, daß und auf verschiedenen Seiten dieser Geraden liegen, ergeben sich keine “Spitzen” mehr. Um dies sicherzustellen genügt es wie in obiger Definition zu fordern, daß ist.

Die Gleichung (1.34) ist noch sehr allgemein. Wählt man und nach [Rei95], dann erhält man speziellere Glattheitsbedingungen, die wir im folgenden für die G-Splines verwenden werden.

Definition 1.7   Die geometrische Glattheitsbedingung (1.34) ist

i)

vom Typ , wenn und ;

ii)

vom Typ , wenn und ;

iii)

vom Typ , wenn und .

Wir werden nun alle drei Typen für biquadratische und (d.h. ) etwas näher untersuchen.

Im Fall von Typ erhalten wir die Bedingung für die parametrische Glattheit (-Bedingung),

und eingesetzt ergibt

Es gilt und und aus der -Bedingung folgt, daß für . Also erhalten wir

Abbildung 1.8: Kontrollpunkte für Typ

Hieraus ergeben sich die folgenden Bedingungen für die Bézierpunkte:

Bei einer Vierer-Nachbarschaftsstruktur, bei der die Flächenstücke an allen vier Randkurven geometrisch glatt zusammengesetzt werden, bestimmen damit die “mittleren” Bézierpunkte alle anderen Bézierpunkte. Siehe hierzu auch Abbildung 1.8. Hier können die “mittleren”, mit nicht ausgefüllten Kreisen gekennzeichneten Bézierpunkte, frei gewählt werden und die mit ausgefüllten Kreisen markierten Bézierpunkte ergeben sich als Mittel der angrenzenden, nicht ausgefüllten Bézierpunkte. Damit lassen sich alle regulären Netze, die in diesem Fall die mittleren Bézierpunkte bestimmen, in Bézierkontrollnetze umwandeln.

Für den Typ erhalten wir die Gleichung

Nachdem und quadratisch in sind und linear in ist, ist die Funktion linear. Also sei mit . Setzt man dann (1.29) in (1.39) ein, erhält man folgende Gleichungen für die Kontrollpunkte,

Für Typ gilt die Gleichung

Zur Lösung dieser Gleichung nehmen wir an, daß und im gleichen linearen Raum liegen, d.h. und mit und . Dann ist die Gleichung für erfüllt. Eine sinnvolle Bedingung für die Bézierpunkte ist somit

mit . Aus folgt daß , wie ursprünglich gefordert.