1.1 Approximation mit Polynomen

Abbildung 1.1: Beispiel zur polynomialen Interpolation einer Kurve im

Nach dem Approximationssatz für stetige Funktionen von Weierstraß lassen sich stetige Funktionen auf einem endlichen, abgeschlossenen Intervall beliebig genau durch Polynome approximieren. In der Anwendung könnte man also eine solche Funktion ( ) durch ein Polynom darstellen.

Eine Möglichkeit hierfür wäre die diskrete Approximation bzw. Interpolation. Dazu wählt man Stützstellen zu den Stützwerten und fordert, daß das Interpolationspolynom die Stützwerte an den Stützstellen annimmt, also für . Dann ist eindeutig durch die Lagrange'sche Interpolationsformel bestimmt,

Die heißen Lagrange-Polynome. Abbildung 1.1 zeigt eine drei-dimensionale Kurve, die mittels dieser polynomialen Interpolation erzeugt wurde. Die Interpolationsdaten für diese Kurve wurden über erzeugt mit .

Allerdings ergeben sich bei dieser Methode auch einige Probleme. Jedes ist von allen Stützstellen abhängig, d.h. hängt global von den Stützstellen ab und muß bei jeder Änderung einzelner Approximationsdaten vollständig neu berechnet werden.

Abbildung 1.2: Polynomiale Interpolation der Funktion

Ist der Funktionswert einer Polynomfunktion an einer Stelle von 0 verschieden und nicht konstant, dann strebt die Funktion für große gegen unendlich. Eine Funktion mit kompaktem Träger kann so nur ungenügend durch ein Polynom approximiert werden.

Weiterhin erhöht sich der Grad von um eins für jede weitere Stützstelle, womit auch die Berechnung des Polynoms selbst sehr komplex werden kann. Ein Polynom von hohem Grad approximiert den Gesamtverlauf der Funktion auch nicht unbedingt zufriedenstellend. Siehe hierzu auch Abbildung 1.2, in der die Funktion an den Stellen interpoliert wurde (vgl. [Höl98]). Die Orginalfunktion ist gepunktet eingezeichnet.