1.2 Splineräume und B-Splines

Polynome sind dagegen sehr gut zur lokalen Approximation von glatten Funktionen geeignet. Um die Probleme der polynomialen Interpolation zu vermeiden, liegt es daher nahe, die Funktion stückweise durch Polynome zu approximieren. Dazu teilen wir ein Interval in Teilintervalle , auf, die durch die Knotenfolge mit

bestimmt werden. Auf jedem dieser Teilintervalle stellen wir die approximierende Funktion als Polynom vom maximalen Grad dar. Dabei kann in der Knotenfolge jeder Knoten maximal -mal vorkommen. Kommt ein Knoten genau -mal vor, d.h. , dann sind die ersten Ableitungen von an diesem Knoten stetig. heißt die Vielfachheit von . ist dann eine Splinefunktion zur Knotenfolge vom Grad mit dem Definitionsbereich . Den hieraus entstehenden Splineraum bezeichnen wir mit . Um eine Basis für diesen Raum zu erhalten, erweitern wir zunächst die Knotenfolge in beide Richtungen um jeweils Punkte:

Wir können auch annehmen, daß in beide Richtungen unendlich fortgesetzt wird und wir nur die jeweils relevanten Knoten betrachten. Die Knoten außerhalb des Intervalls haben keinen Einfluß auf die im Splineraum enthaltenen Funktionen. Eine mögliche Basis für diesen Raum bilden die abgebrochenen Potenzen. Jedes läßt sich darstellen als

mit den Koeffizienten und

Dabei ergeben die ersten abgebrochenen Potenzen eine Basis für die Polynome vom maximalen Grad auf dem Intervall . Die restlichen Terme bestimmen die “Sprünge” in den Ableitungen an den Knoten. Aus dieser Darstellung folgt, daß die Dimension von gleich ist.

Die Basis der abgebrochenen Potenzen (1.4) für besitzt allerdings keinen kompakten Support, d.h. Änderungen der Koeffizienten haben globale Auswirkungen. Dieser Nachteil wird durch die B-Splines aufgehoben.

Definition 1.1 (B-Splines)   Zu einer vorgegebenen Knotenfolge für die gilt, sei der B-Spline vom Grad wie folgt rekursiv definiert.
Für sei

Für sei

mit

Abbildung 1.3: Rekursive Definition eines B-Splines vom Grad

Die rekursive Konstruktion eines B-Splines vom Grad für eine äquidistante Knotenfolge ist in Abbildung 1.3 veranschaulicht. Mit Hilfe der Marsden Identität erhält man folgendes Resultat.

Theorem 1.2 (B-Spline Basis)   Für das Intervall bilden die B-Splines für eine Basis für mit der Knotenfolge und es gilt . Falls , bilden die B-Splines eine Basis der Polynome vom maximalen Grad auf .

Proof. Den Beweis hierzu findet man in [Höl94] und [Höl98].

Eine Splinekurve vom Grad im mit den Kontrollpunkten hat demnach die Form

Damit sind die Koordinatenfunktionen von Splinefunktionen aus .