Nun sollen mit Hilfe der Splinefunktionen, insbesondere der Bézierkurven, Flächen im
dargestellt werden.
Intuitiv kann man eine Fläche auch als Kurve auffassen, die sich durch
den Raum bewegt und dabei ihre Form verändert (vgl. [Far93]).
Dies ist schematisch in Abbildung 1.7 dargestellt.
Wir beschränken uns im folgenden darauf, daß diese Kurve zu
jedem Zeitpunkt eine Bézierkurve vom Grad 
ist. Sei 
die Kurve zum Zeitpunkt 
, wobei 
die Anfangskurve und 
die Endkurve sei,
![c^v: [0,1] -> R^3, u -> \sum_{j=0}^alpha P_j(v)B^alpha_j(u).](img147.png) |
(1.27) |
durch eine Menge von Kontrollpunkten
bestimmt. Damit geht von jedem einzelnen ursprünglichen Kontrollpunkt
eine Kurve aus, die die Lage der folgenden Kontrollpunkte
beschreibt. Wir beschränken uns nun weiter darauf, daß auch diese
Kurven Bézierkurven vom festen Grad 
sind, die selbst durch
Kontrollpunkte beschrieben werden, d.h. 
wird beschrieben
durch
![P_j: [0,1] -> R^3, v -> \sum_{k=0}^beta P_{j,k} B^beta_k(v).](img152.png) |
(1.28) |
Kombiniert man beide Gleichungen, erhält man eine Fläche 
als
Tensorprodukt
vollständig beschrieben wird. Viele der
Eigenschaften dieser Bézierflächen lassen sich direkt aus den
Eigenschaften der Bézierkurven ableiten (siehe auch [Far93]).
Die Originalkurve hat die Kontrollpunkte
und es ist einfach zu zeigen, daß jede
beliebige Randkurve von als Anfangskurve zu verwenden ist. Die
Randkurven der Fläche sind Polynomkurven und werden durch die
Randpunkte des Kontrollnetzes festgelegt. Insbesondere
liegen alle vier Ecken des Kontrollnetzes auf der Fläche.
Es gilt
Für
sind
nicht negativ.
Zusammen mit (1.30) folgt damit, daß (1.29)
eine Konvexkombination ist. Die Fläche liegt somit in der konvexen
Hülle der Kontrollpunkte.
![S: [0,1]^2 -> R^3, (u,v) -> \sum_{j=0}^alpha \sum_{k=0}^beta P_{j,k} B^alpha_j(u) B^beta_k(v),](img154.png)
