1.7 Biquadratische G-Splines

Abbildung 1.9: Glattheitsbedingungen in der Nähe einer Irregularität

Im vorherigen Abschnitt haben wir bereits eine Methode angesprochen, mit der man aus einem regulären Kontrollnetz Bézierkontrollnetze erzeugen kann, so daß die Fläche geometrisch glatt ist. Diese Methode läßt sich auf semi-reguläre Netze erweitern. Hieraus werden wir die biquadratischen G-Spline-Flächen erhalten. Die durch das Kontrollnetz repräsentierte Fläche soll durch eine Anzahl biquadratischer Bézierflächen dargestellt werden, d.h. zu jedem Punkt des Kontrollnetzes wird eine Bézierfläche mit neun Bézierpunkten erzeugt. Am Rand sollen diese Flächenstücke geometrisch glatt zusammengesetzt werden. Im regulären Fall können wir hierfür die Glattheitsbedingung von Typ verwenden. In der Umgebung einer Irregularität der Ordnung ist dies jedoch nicht möglich, nachdem hier mehr oder weniger als vier Flächenstücke zusammentreffen. An der Irregularität enthält das Kontrollnetz ein Polygon mit mehr oder weniger als vier Kanten. Dem Ansatz von [Rei95] folgend fordern wir in der Umgebung der Irregularität, daß die Glattheitsbedingungen vom Typ oder erfüllt sind, wie in Abbildung 1.9 gezeigt. Dabei stellen gepunktete Linien den Typ , gestrichelte den Typ und der Rest den Typ dar.

Abbildung 1.10: Bezeichnungen der Bézierpunkte in der Nähe einer Irregularität

In der Umgebung der Irregularität bezeichnen wir die Bézierpunkte wie in Abbildung 1.10 angegeben. Der Index läuft dabei von 0 bis und wird modulo hochgezählt. Wir fassen die Punkte vom gleichen Typ zu Vektoren zusammen, also , ...etc. Nach [Rei95] lassen sich aus den Kontrollpunkten , , und die Bézierkontrollnetze berechnen, wenn diese bestimmten Gleichungen genügen.

Theorem 1.8   Wenn die Kontrollpunkte die Gleichungen

mit dem Shift Operator und der Matrix gegeben durch

erfüllen, dann beschreiben die durch folgende Gleichungen gegebenen Bézierpunkte eine glatte, biquadratische Splinefläche:

Proof. Der Beweis ist in [Rei95] zu finden.

Abbildung 1.11: G-Spline-Fläche mit Irregularität der Ordnung 3

Abbildung 1.12: G-Spline-Fläche mit Irregularität der Ordnung 5

Also lassen sich alle Punkte in Abhängigkeit von , , und darstellen. Wir bezeichnen die , , und als Quasikontrollpunkte, da diese Punkte immer noch die Bedingungen (1.43) erfüllen müssen. Unser Ziel ist es auch diese Bedingungen zu eliminieren. In Matrixform lauten sie

wobei eine Matrix ist. Haben wir nun einen Vektor von beliebigen Kontrollpunkten, die eine Fläche beschreiben sollen, dann kann ein passender Vektor durch das Optimierungsproblem

gefunden werden (mit ). Die Lösung für dieses Problem liefert die Pseudoinverse von ,

Damit lassen sich also alle Bézierpunkte in der Umgebung der Irregularität mit der Gleichung (1.48) und dem Theorem 1.8 aus beliebigen Kontrollpunkten berechnen. Die Abbildungen 1.11 und 1.12 zeigen das Kontrollnetz und die berechnete G-Spline-Fläche für Kontrollnetze mit einer Irregularität der Ordnung 3 und 5.