2.5 Krümmung

Als spezielle Funktionen betrachten wir abschließend die Krümmung von Flächen. Wir geben hier nur eine kurzen Überblick aus der Differentialgeometrie. Für eine umfassende Einführung sei beispielsweise auf [Car93] verwiesen, aus dem folgender kurzer Überblick zusammengestellt wurde.

Es sei eine reguläre Fläche und ein Punkt auf dieser Fläche. Wir bezeichnen die Menge der Tangentenvektoren von allen Kurven in durch als Tangentialebene an in . Das natürliche innere Produkt in induziert auf jedem ein inneres Produkt . Dieses wird als eine symmetrische Bilinearform mit dargestellt. Wir bezeichnen als erste Fundamentalform von in .

Für ein existiert nach Definition eine Kurve auf für mit , so daß und gilt. Dies liefert die folgende Form für :

mit

wobei alle Funktionen bei ausgewertet werden.

Ist eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve, dann ist die Krümmung von in . Hieraus leiten wir die Krümmung für die Fläche ab. Sei die Abbildung, die jedem Punkt von den Einheitsnormalenvektor zuweist. gibt so für jeden Punkt und damit für die ganze Fläche eine Orientierung an. Die Werte der Abbildung liegen alle in der Einheitssphäre . Somit können wir die Gauß-Abbildung von als definieren. Diese Abbildung ist für orientierbare Flächen differenzierbar und das Differential von ist eine lineare Abbildung von in den Tangentenraum . Nachdem beide Tangentenräume parallele Ebenen sind, kann man auch als lineare Abbildung auf interpretieren. Weiter können wir hiermit die zweite Fundamentalform von bei als definieren.

Wir betrachten wieder eine reguläre, nach Bogenlänge parametrisierte Kurve , die ganz in verläuft und es gelte . sei die Krümmung von in und sei der Normalenvektor an . Dann ist die Normalkrümmung von in . Wir betrachten nun alle Kurven in durch . Die maximale und minimale Normalkrümmung heißen Hauptkrümmungen von bei . Weiter definieren wir die Gauß'sche Krümmung als Determinante von und der negative Wert der halben Spur von heißt die mittlere Krümmung.

Abbildung 2.25: Gauß-Krümmung für Irregularitäten der Ordnung , und

Zur Vereinfachung der Notation stehen im folgenden die Funktionen für ihren Wert im Punkt . Es gilt

Da und zu gehören, können wir sie wie folgt darstellen

Damit erhalten wir die Darstellung

Die zweite Fundamentalform können wir schreiben als

Wegen gilt

Aus (2.90) können wir nun Gleichungen für die aufstellen,

Hieraus erhalten wir

Dies ergibt folgende Gleichung für die Gauß-Krümmung,

Für die mittlere Krümmung erhalten wir

Nachdem und Eigenwerte von sind, gilt außerdem

Somit erfüllen die beiden Hauptkrümmungen die quadratische Gleichung

und deshalb gilt

Berechnen wir , , , , , über (2.87) und (2.93), dann erhalten wir über obige Formeln die verschiedenen Krümmungen zu einem Punkt . Damit können wir die Krümmungsfunktionen einfach implementieren, indem wir die Auswertung der Bézierkontrollnetze für die Funktion durch die Berechnung von , , , , , und der entsprechenden Krümmung für das Bézierkontrollnetz der Fläche ersetzen.

Abbildung 2.26: Gauß'sche (links) und mittlere (rechts) Krümmung des Whitneyschen Regenschirms

Abbildung 2.27: Gauß'sche Krümmung des T

Wir stoßen hier allerdings auch an die Grenzen der biquadratischen G-Splines. Biquadratische Splineflächen können nur tangential stetig zusammengesetzt werden. Für die Krümmungen benötigen wir aber auch die zweiten Ableitungen zur Berechnung von , und . Deshalb müssen die Krümmungsfunktionen nicht mehr stetig sein. Besonders wird dies an den irregulären Stellen des Kontrollnetzes sichtbar.

In Abbildung 2.25 stellen wir die Gauß-Krümmung in der Umgebung von Irregularitäten der Ordnung , und dar. Nachdem die Formeln für biquadratische G-Splines an den Irregularitäten nur aus den Bedingungen für tangentiales Zusammensetzen der Flächenstücke erzeugt wurden, ist die Krümmung natürlich nicht stetig. Für die Stetigkeit der Krümmung benötigen wir Splineflächen höherer Ordnung.

Für die über die Parametrisierung des Whitneyschen Regenschirms erzeugte Fläche aus Abbildung 2.5 zeigen wir in Abbildung 2.26 die Gauß'sche und die mittlere Krümmung.

Abbildung 2.27 zeigt die Gauß'sche Krümmung der in Abbildung 1.24 vorgestellten T-Fläche. Neben der Farbdarstellung stellen wir sie hier auch als farbige Fläche über dem T dar.

Abbildung 2.28 zeigt die Gauß'sche und die mittlere Krümmung der Fläche, deren Kontrollpunkte über die Parametrisierung (2.81) des Affensattels festgelegt wurden. Besonders bei der mittleren Krümmung erkennt man, daß die Funktion nicht mehr stetig ist. Die exakten Formeln für die Krümmungen des Affensattels sind

(vgl. [Gra94]). Hierüber können wir auch Funktionskontrollpunkte für die Flächenkontrollpunkte mit , festlegen. Diese Funktionen sind in Abbildung 2.29 dargestellt.

Abbildung 2.28: Gauß'sche (links) und mittlere (rechts) Krümmung des Affensattels

Abbildung 2.29: Gauß'sche (links) und mittlere (rechts) Krümmung des Affensattels als G-Spline-Funktion