2.3.3 Fl�cheninhalt, Volumen, Schwerpunkt und Tr�gheitsmoment

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2.3.3 Fl�cheninhalt, Volumen, Schwerpunkt und Tr�gheitsmoment

Wir betrachten noch zwei spezielle Integrale f�r G-Spline-Fl�chen. Der Fl�cheninhalt einer Fl�che ist definiert durch

$A(S) := \int_S 1 d sigma.$

(2.71)

F�r den Fl�cheninhalt der G-Spline-Fl�che gen�gt es somit, das Integral

$\iint_{[0,1]^2} |(\partial S_i)/(\partial u) x (\partial S_i)/(\partial v)| d(u,v).$

(2.72)

pro Bézierfl�che

zu berechnen. Dies l��t sich durch eine einfache �nderung der Trapezregel im Romberg-Algorithmus implementieren.

F�r eine geschlossene G-Spline-Fl�che k�nnen wir auch das Volumen berechnen. F�r das Volumenintegral einer Fl�che , welche das Volumen einschlie�t, gilt nach dem Gau�'schen Integrationssatz, da�

$V(S) = \int_V 1 dV = \int_V div(...) d sigma,$

(2.73)

wobei

der nach au�en gerichtete Einheitsnormalenvektor von

ist. Analog erh�lt man f�r das Volumenintegral auch die Formeln

$V(S) = \int_{S} <...> d sigma.$

(2.74)

Daraus folgt

$V(S) = 1/3 \int_{S} <([x;y;z]), n> d sigma.$

(2.75)

Dies entspricht dem Oberfl�chenintegral des Vektorfeldes

. Nachdem in dieser Formel alle drei Koordinaten vorkommen, ist sie auch numerisch stabiler. F�r geschlossene G-Spline-Fl�chen erhalten wir das Volumen damit aus der Summe der Integrale

$1/3 \iint_{[0,1]^2} < S_i, N > d(u,v)$

(2.76)

pro Bézierfl�che

, wobei

der nach au�en gerichtete Normalenvektor der Fl�che ist. Durch eine entsprechende �nderung der Trapezregel k�nnen wir so auch das Volumen berechnen. Dabei �berpr�fen wir allerdings nicht, ob die Fl�che geschlossen ist und damit das Volumen �berhaupt existiert. In wieweit das berechnete Integral definiert ist, bleibt dem Benutzer �berlassen.

**Abbildung 2.10:** Volumenintegral f�r die Fl�che aus der Abbildung 1.19 (einfacher W�rfel)

**Abbildung 2.11:** Integrale und Fl�chenschwerpunkte verschiedener Objekte

Die Tabelle in Abbildung 2.10 enth�lt die Ergebnisse der Volumenberechnung des einfachen W�rfels aus Abbildung 1.19 f�r verschiedene Toleranzwerte. Zum Vergleich geben wir neben den Ergebnissen des Romberg-Algorithmus' auch die der bivariaten Trapezregel an. Die Iterationen sind die mittlere Anzahl der Iterationen, die f�r ein Fl�chenst�ck ben�tigt wurden, um die gew�nschte Genauigkeit zu erreichen. Der W�rfel besteht aus Fl�chenst�cken, d.h. die gesamte Toleranz ist mal gr��er als die Toleranz f�r die einzelnen Fl�chenst�cke. Man sieht an der Tabelle, da� die mittlere Anzahl der Iterationen f�r die Trapezregel schneller als f�r den Romerg-Algorithmus mit dem Verkleinern der Toleranzwerte steigt.

Mit Hilfe der vorgestellten Integrationsalgorithmen k�nnen wir den Schwerpunkt einer Fl�che berechnen. Sei dazu die Fl�chendichte von . Dann ist die Masse von

$m(S) := \int_S rho d sigma.$

(2.77)

Der Schwerpunkt

ist

$c(S) := 1/m(S) ([\int_S x rho d sigma; \int_S y rho d sigma; \int_S z rho d sigma]).$

(2.78)

F�r $rho \equiv 1$ zeigt die Tabelle in Abbildung 2.11 das Volumen, den Fl�cheninhalt, der hier physikalisch der Masse der Fl�che entspricht, die obigen drei Integrale f�r den Schwerpunkt und die Koordinaten des Schwerpunktes f�r die im Kapitel 1 vorgestellten Fl�chen. Die Toleranzen wurden so gew�hlt, da� die gesamte Toleranz in etwa

betr�gt. Die in eckigen Klammern angegebenen Werte entsprechen der mittleren Anzahl der Iterationen pro Fl�chenst�ck. Es sei auch darauf hingewiesen, da� der Integrand f�r die Schwerpunktintegrale durch eine G-Spline-Funktion angegeben wurde.

**Abbildung 2.12:** Tr�gheitsmoment eines M�biusbandes

Wir k�nnen ebenfalls das Tr�gheitsmoment

einer Fl�che

mit der Dichte

bzgl. einer Rotationsachse berechnen,

$J(S) := \int_S r^2 rho d sigma.$

(2.79)

weist jedem Punkt der Fl�che seinen senkrechten Abstand zu der Rotationsachse zu. Dabei geben wir

wieder als G-Spline-Funktion auf der Fl�che an. F�r das M�biusband aus Abbildung 1.16 mit der Dichte $rho \equiv 1$ ist das Tr�gheitsmoment um die Mittelachse gleich

bei einem Fl�cheninhalt von

. Je weiter die einzelnen Masseteilchen der Fl�che von der Rotationsachse entfernt sind, um so st�rker wirken sie sich auf die Rotation aus. Die Funktion

ist f�r das M�biusband in Abbildung 2.12 dargestellt. Nachdem das M�biusband nicht orientierbar ist, eignet sich die reine Farbdarstellung der Funktion am besten.

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