2.3.3 Flächeninhalt, Volumen, Schwerpunkt und Trägheitsmoment

Wir betrachten noch zwei spezielle Integrale für G-Spline-Flächen. Der Flächeninhalt einer Fläche ist definiert durch

Für den Flächeninhalt der G-Spline-Fläche genügt es somit, das Integral

pro Bézierfläche zu berechnen. Dies läßt sich durch eine einfache Änderung der Trapezregel im Romberg-Algorithmus implementieren.

Für eine geschlossene G-Spline-Fläche können wir auch das Volumen berechnen. Für das Volumenintegral einer Fläche , welche das Volumen einschließt, gilt nach dem Gauß'schen Integrationssatz, daß

wobei der nach außen gerichtete Einheitsnormalenvektor von ist. Analog erhält man für das Volumenintegral auch die Formeln

Daraus folgt

Dies entspricht dem Oberflächenintegral des Vektorfeldes . Nachdem in dieser Formel alle drei Koordinaten vorkommen, ist sie auch numerisch stabiler. Für geschlossene G-Spline-Flächen erhalten wir das Volumen damit aus der Summe der Integrale

pro Bézierfläche , wobei der nach außen gerichtete Normalenvektor der Fläche ist. Durch eine entsprechende Änderung der Trapezregel können wir so auch das Volumen berechnen. Dabei überprüfen wir allerdings nicht, ob die Fläche geschlossen ist und damit das Volumen überhaupt existiert. In wieweit das berechnete Integral definiert ist, bleibt dem Benutzer überlassen.

Abbildung 2.10: Volumenintegral für die Fläche aus der Abbildung 1.19 (einfacher Würfel)

Abbildung 2.11: Integrale und Flächenschwerpunkte verschiedener Objekte

Die Tabelle in Abbildung 2.10 enthält die Ergebnisse der Volumenberechnung des einfachen Würfels aus Abbildung 1.19 für verschiedene Toleranzwerte. Zum Vergleich geben wir neben den Ergebnissen des Romberg-Algorithmus' auch die der bivariaten Trapezregel an. Die Iterationen sind die mittlere Anzahl der Iterationen, die für ein Flächenstück benötigt wurden, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen. Der Würfel besteht aus Flächenstücken, d.h. die gesamte Toleranz ist mal größer als die Toleranz für die einzelnen Flächenstücke. Man sieht an der Tabelle, daß die mittlere Anzahl der Iterationen für die Trapezregel schneller als für den Romerg-Algorithmus mit dem Verkleinern der Toleranzwerte steigt.

Mit Hilfe der vorgestellten Integrationsalgorithmen können wir den Schwerpunkt einer Fläche berechnen. Sei dazu die Flächendichte von . Dann ist die Masse von

Der Schwerpunkt ist

Für zeigt die Tabelle in Abbildung 2.11 das Volumen, den Flächeninhalt, der hier physikalisch der Masse der Fläche entspricht, die obigen drei Integrale für den Schwerpunkt und die Koordinaten des Schwerpunktes für die im Kapitel 1 vorgestellten Flächen. Die Toleranzen wurden so gewählt, daß die gesamte Toleranz in etwa beträgt. Die in eckigen Klammern angegebenen Werte entsprechen der mittleren Anzahl der Iterationen pro Flächenstück. Es sei auch darauf hingewiesen, daß der Integrand für die Schwerpunktintegrale durch eine G-Spline-Funktion angegeben wurde.

Abbildung 2.12: Trägheitsmoment eines Möbiusbandes

Wir können ebenfalls das Trägheitsmoment einer Fläche mit der Dichte bzgl. einer Rotationsachse berechnen,

weist jedem Punkt der Fläche seinen senkrechten Abstand zu der Rotationsachse zu. Dabei geben wir wieder als G-Spline-Funktion auf der Fläche an. Für das Möbiusband aus Abbildung 1.16 mit der Dichte ist das Trägheitsmoment um die Mittelachse gleich bei einem Flächeninhalt von . Je weiter die einzelnen Masseteilchen der Fläche von der Rotationsachse entfernt sind, um so stärker wirken sie sich auf die Rotation aus. Die Funktion ist für das Möbiusband in Abbildung 2.12 dargestellt. Nachdem das Möbiusband nicht orientierbar ist, eignet sich die reine Farbdarstellung der Funktion am besten.